Почему при нажатии меню «Мои сообщения » контакт требует, чтобы вы ввели е-майл и пароль?

Это может происходить по двум причинам:
(1) Плохое соединение с интернетом, и как следствие – пока вы просматриваете страницу вас выкидывает Из «Вконтакте».
(2) Скорее всего вы сделали  доступной страницу только для себя, то есть – удалили ее.  Как следствие  - вам не требуется «личка». Для того, чтобы зайти в сообщения восстановите страницу.